Por qué no es lo mismo 5×3 que 3×5

A un estudiante de primaria americano le bajan la nota porque argumenta que 5×3 es 5+5+5, su maestra dice que es 3+3+3+3+3. Para nuestra tranquilidad hemos comprobado que las dos sumas dan 15. Pero la cosa no queda aquí: se publica una foto del examen en Imgur que genera 5 millones de visitas. Llega a Reddit y supera los 10.000 comentarios. Incluso la Asociación de Profesores de Matemáticas de Estados Unidos (NCTM) ha intervenido en el asunto para dar la razón a la profesora. Ante tal expectación surgen dos preguntas ¿Qué es 5×3? y ¿por qué tanto revuelo?.5x3 y 3x5

Cuando en la escuela enseñamos a multiplicar –por números naturales– solemos decir que es repetir una suma un número de veces. De ahí se deduce que “veces” podría ser la clave para entender la multiplicación en castellano. Los que somos mayores, y hemos sobrevivido a las matemáticas, ya no nos lo cuestionamos, decimos “por” y como nos sabemos las tablas de memoria –o usamos el móvil sin ningún pudor– seguimos adelante. Parece una perogrullada, pero en realidad no lo es. Si solo usamos “por” tanto tiene que 5×3 sea 5+5+5 que 3+3+3+3+3, si usamos “veces” es lógico que cinco veces tres se compute sumando cinco veces el tres.

¿Qué dicen las autoridades matemáticas al respecto? Poca cosa, aunque si buscamos en el baúl de los recuerdos había un multiplicando (pasivo, que se dejaba multiplicar) y un multiplicador (el que multiplica). Fin de la discusión. Si necesitamos más argumentos podemos ir a la RAE, que nos habla de estos dos factores aunque no nos aclara el orden en el que deben ir.

Se dice que el orden de los factores no altera el producto – a lo que se llama propiedad conmutativa. Desde luego así es en las multiplicaciones con números aunque no es verdad en otras multiplicaciones, por ejemplo en la de producto de matrices. Tampoco parece que lo primero que debamos enseñar a nuestros pequeños es la “conmutatividad”.

¿Y entonces a qué viene tanto revuelo? ¿Por qué esta imagen se ha hecho viral? Desde 2009 las autoridades educativas de varios estados norteamericanos se coordinaron para revisar lo que era verdaderamente relevante en matemáticas – y otras áreas- y establecieron unos mínimos estatales que llamaron centrales y comunes Common Core. No solo revisaron los contenidos – no solo aprendemos contenidos – sino que dieron un interesantísimo repaso a la forma en la que se argumentaba en clase y la metodología de la enseñanza. Para muchos – y me incluyo- es un trabajo extraordinario que sirve de referencia a la hora de plantearnos lo que enseñamos y cómo lo hacemos. Para otros es una señal de que “se baja el nivel” y se ha convertido en un tema recurrente en redes compartir las preguntas Common Core criticando que son demasiado fáciles, que utilizan una extraña neolengua, que son difusas, o que la petición de que se argumente es ridícula. El denominador común es que la manera “antigua” era sencilla y fácil de aprender y la manera moderna es rara. Al fin y al cabo a todos nos parecían fáciles –y se nos daban genial– las matemáticas cuando éramos pequeños ¿o no? – por si no se ha entendido estaba siendo irónico.

Dicho lo anterior lo cierto es que habría que mirar la pregunta dos del ahora famoso examen para darse cuenta de que la maestra posiblemente ha sido demasiado estricta restando dos puntos a nuestro pobre niño o niña de primaria, ya que si te piden que des una disposición o matriz – no hay una buena traducción para array – que muestre cuánto es 4×6, tanto cuatro filas de seis elementos como seis filas de cuatro elementos deberían ser soluciones.5x3 y 3x5 b

Volviendo al tema de la multiplicación es pertinente preguntarse si se aprende bien o está costando demasiado trabajo a nuestros pequeños entender y memorizar las tablas. La mayor parte de los idiomas tienen esta estructura de “veces”: times en inglés, fois en francés, mal en alemán… Aunque tienen también la otra opción: los ingleses dicen multiplied by que es equivalente a nuestro tradicional “multiplicado por”. Si optásemos por el más intuitivo “veces” habría que darle la vuelta a las tablas de multiplicar ya que la tabla del tres debería empezar por una o dos veces tres, y seguir por 3×3, 4×3, 5×3 (ahora sí 3+3+3+3+3), 6×3, etcétera.

Sobre el orden de los factores y la multiplicación hay varias entradas escritas en el blog ‘Más ideas y menos cuentas’ como esta o esta otra. También puedes descargarte las tablas en el “orden correcto”. Como extra y por el mismo precio, tienes aquí estos consejos – como el de utilizar una tabla de doble entrada –  o este curioso método de multiplicación con los dedos.

José Ángel Murcia en Verne

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4 comentarios

  1. Excelente, destaco esta explicación por sobre otras que leí durante las dos últimas semanas. Respecto a esa profesora, la considero demasiado estricta en el sentido de que esta evaluando a un chiquillo de primaria…pero bueno!! como dicen en mi país: “nada que hacer pu!!”

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  2. ¿Algún matemático, bancario, banquero o economista lo puede explicar? A propósito de crisis, economía, banca, cuentas, balances, gastos y política o evasión fiscal; Si las matemáticas tienen “lagunas” o no son tan exactas como se enseña… ¿Como creer en lo demás y menos en religión, política, banca, hacienda, etc.? Una demostración prueba que todo no es como parece, por arte de magia matemática hay euros que salen y no existían, ni dicen, ni se sabe a dónde van o quien tiene, en el ejemplo que sigue que multiplicado por miles de millones, dan mas miles de millones.

    Unos zapatos me gustan y valen 100 euros, como no tengo ahorro, pido prestado a mi mamá 50 euros y otros 50 euros a mi padre, voy a la tienda y ahora están de oferta por solo 75 euros, me sobran 25 euros, de vuelta a casa un amigo me pide le preste 15 euros y se los dejo, me quedan 10 euros y devuelvo a mi mamá 5 euros, otros 5 euros a mi papá, así les quedo debiendo 45 euros a cada uno, o sea, 45 + 45 = 90 euros y el amigo me debe 15 euros, sumo lo que debo y lo que me debe el amigo, o sea 90+15 = 105 euros, pero… ¿Cómo puede ser, de donde salen 5 euros de más? Así es una parte de la ingeniería financiera… ¡Salen de la nada! Luego… ¿Si la nada existe, se podrá llamar “dios” a la nada existente?

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    • Muy bueno.

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    • Hola fer, la solución de tu problema está mal planteada, lo que realmente debes sumar es solo lo que gastaste de esos 100 euros, me explico: vas a la tienda y gastas 75, te quedan 25, de los cuales 15 son para tu amigo y 10 para saldar tu deuda, si sumas todos los “gastos” de ese día: 75+15+10=100. Tu error es escribir: “sumo lo que debo y lo que me debe el amigo” no debes sumar tus deudas con tus ingresos, lo que deberías haber hecho es que a los 90 euros que aún debes, restarle los 15 que te devolvieron, ahora te queda por pagar 75 euros, que corresponden al precio de los zapatos.
      Las matemáticas no fallan, no apoyo la idea de que exista un Dios, solo quiero decir que si las matemáticas se hicieron para descubrir los secretos más profundos del universo dios no es uno de esos secretos y pasa a segundo plano.

      Saludos.

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